空间域滤波

🎯学习目标

• 理解空间域增强 g(x,y)=T[f(x,y)] 的基本概念；
• 掌握灰度变换（反转、对数、幂次/伽马、灰度分层、比特平面）；
• 理解直方图及直方图均衡化、直方图匹配的原理；
• 区分相关与卷积，掌握模板（掩膜）运算；
• 掌握平滑滤波器：均值、加权均值、中值、最大/最小值；
• 掌握锐化滤波器：一阶梯度（Roberts/Prewitt/Sobel）、二阶拉普拉斯。

1图像增强概述

图像增强：增加像素灰度值的动态范围，提升整体对比度与可视性。分两类：

简化形式 s = T(r)：r 是原图任一点灰度级，s 是处理后灰度级，T 是定义在 (x,y) 邻域上的操作。

2灰度变换（点运算）

灰度级分层与比特平面

• 灰度级分层：突出某个灰度范围——可将关心范围置高值、其它置低值（或保持不变）。
• 比特平面分层：8 bit 像素 = 8 个 1 位平面（b₇…b₀）。高位平面（如前4位）含大部分视觉重要信息，低位平面含细微细节。可分析每一位的相对重要性。

3直方图处理

灰度级在 [0,L-1] 的图像，直方图是离散函数 p(r_k)=n_k/n（n_k 为灰度 r_k 的像素数，n 为总数）。

直方图均衡化

目标：使像素占满全部灰度级且分布均匀，获得高对比度。用灰度变换 s=T(r)，T(r) 须满足：① 在 [0,L-1] 单值且单调递增；② r∈[0,L-1] 时 s∈[0,L-1]。

连续情形（变换函数取累积分布函数 CDF）：
s = T(r) = (L-1) ∫₀ʳ p_r(w) dw

离散情形：
s_k = T(r_k) = (L-1) Σ_{j=0}^{k} p_r(r_j) = (L-1) Σ n_j / n

直方图匹配（规定化）

希望输出图像具有指定的直方图形状。设 p_z(z) 为指定密度，分别对 r 做均衡 s=T(r)、对 z 做均衡 G(z)，再令 z=G⁻¹(s)。

4空间滤波与模板（掩膜）

空间滤波：使用空间模板进行的图像处理；模板本身称为空间滤波器（掩膜）。在 M×N 图像 f 上用 m×n 滤波器：

g(x,y) = Σ_{s=-a}^{a} Σ_{t=-b}^{b} w(s,t) · f(x+s, y+t)
其中 m=2a+1, n=2b+1（奇数尺寸），w(s,t) 为滤波器系数
简化形式：R = Σ wᵢ·zᵢ  （zᵢ 为模板覆盖的图像灰度值，mn 为像素总数）

5相关与卷积 ⭐

6平滑空间滤波器 ⭐

模糊处理：去除不重要细节、减小噪声。分两类：

均值滤波器

取邻域像素平均值。模板越大（3×3→5×5→…→35×35）模糊越强。加权均值让某些像素（如中心）更重要。

中值滤波器

把模板内像素排序取中间值：R = mid{z_k | k=1…n}。强迫突出的亮/暗点更接近周围值，消除孤立点。

• 3×3 第 5 大为中值，5×5 第 13 大，7×7 第 25 大，9×9 第 41 大；同值像素连续排列。
• 能有效去除椒盐噪声（脉冲噪声）——随机出现的黑/白点，其灰度往往不是中值，故被排除。
• 去噪同时保留边的锐度与细节，优于均值滤波器。

7锐化空间滤波器 ⭐

锐化：突出细节、增强被模糊的边缘。原理：均值（积分）→ 钝化；微分 → 锐化。常用梯度。

一维一阶导数：∂f/∂x = f(x+1) - f(x)
一维二阶导数：∂²f/∂x² = f(x+1) + f(x-1) - 2f(x)

① 一阶微分（梯度法）

梯度是二维列向量 ∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y]ᵀ，幅值 M(x,y)=√[(∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²] ≈ |Gx|+|Gy|。常用算子（3×3 区域 z₁…z₉，中心 z₅）：

② 二阶微分：拉普拉斯算子

各向同性的二阶微分。最常见模板中心为 -4（或 -8），模板系数和为 0（平坦区域无响应，只对突变响应）。增强公式：

当中心系数为负：g(x,y) = f(x,y) - ∇²f(x,y)
= 5f(x,y) - [f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)]   （4邻域版）

⭐重点例题

10 20 30
40 50 60     均值 = (10+20+30+40+50+60+70+80+90)/9
70 80 90            = 450 / 9 = 50

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