数字图像基础

🎯学习目标

• 理解数字图像的定义、形成模型（照度×反射）与表示方法；
• 掌握图像取样与量化的概念，以及空间分辨率、灰度分辨率；
• 理解图像内插（最近邻、双线性）及其应用；
• 掌握像素间的邻域（4/D/8）、邻接（4/8/m）、通路、连通、区域与边界；
• 熟练计算欧氏距离、D4（城市街区）、D8（棋盘）距离；
• 理解直方图、概率统计量（均值、方差）等数学工具。

1什么是数字图像

图像可定义为一个二维函数 f(x,y)，其中 x、y 是空间平面坐标，在任一坐标处的幅值 f 称为图像在该点的强度或灰度。

• 单色（灰度）图像：每个像素亮度用一个数值表示，通常 0~255，0 为黑、255 为白，中间为灰度。
• 彩色图像：用红、绿、蓝三元组的二维矩阵表示，每个分量也在 0~255 之间，0 表示该基色不存在，255 表示取最大值。
• 像素的二维排列可用矩阵表示。

数字图像处理的起源与应用

2简单的图像形成模型

坐标处的幅值满足 0 < f(x,y) < ∞，可由两个分量表征：

f(x,y) = i(x,y) · r(x,y)
i(x,y) —— 入射分量（光源照射到场景的总量）   0 < i(x,y) < ∞
r(x,y) —— 反射分量（物体反射光的总量）        0 < r(x,y) < 1

单色图像在 (x₀,y₀) 处的强度 l = f(x₀,y₀)，且 L_min ≤ l ≤ L_max。区间 [L_min, L_max] 称为灰度级，通常移位为 [0, L-1]：l=0 为黑色，l=L-1 为白色。

3图像取样与量化 ⭐

把传感器获取的连续图像变成数字图像，需要两个离散化过程：

数字图像的表示

表示为 M×N 的数字阵列，每个元素是一个像素。出于存储与硬件考虑，灰度级数通常取 2 的整数次幂：

灰度区间 [0, L-1],   L = 2^k       （k 为量化比特数）
存储所需比特数 b = M × N × k

4空间分辨率与灰度分辨率

5图像内插（重取样）

内插：使用已知数据估计未知值，用于放大、收缩、旋转、几何校正等（增加或减少像素数量），也叫图像重取样。

双线性内插（插值点 (i+u, j+v)，u,v∈[0,1]）：
g_A = f(i,j)   + [f(i,j+1)   - f(i,j)]   · v
g_B = f(i+1,j) + [f(i+1,j+1) - f(i+1,j)] · v
g(i+u, j+v) = g_A + (g_B - g_A) · u

6像素间的基本关系 ⭐

相邻像素：4 邻域、D 邻域、8 邻域

邻接性、通路、连通、区域与边界

令 V 为定义邻接性的灰度值集合：

• 4 邻接：p、q 灰度都在 V 中，且 q 在 N4(p) 中；
• 8 邻接：p、q 灰度都在 V 中，且 q 在 N8(p) 中；
• m 邻接（混合邻接）：p、q 灰度都在 V 中，且满足 ① q 在 N4(p) 中，或 ② q 在 ND(p) 中且 N4(p)∩N4(q) 中没有 V 中的像素。
  m 邻接用于消除 8 邻接带来的多通路二义性。

7距离度量 ⭐（必考）

距离函数 D 须满足：① D(p,q)≥0（p=q 时为 0）；② D(p,q)=D(q,p)（对称）；③ D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)（三角不等式）。设 p(x,y)、q(u,v)：

8数学工具与直方图

阵列运算与线性操作

图像可用矩阵表示，阵列相乘是逐元素相乘，矩阵相乘是线性代数乘法。一个算子 H 若同时满足加性与同质性，则为线性操作：

H[a·f1 + b·f2] = a·H[f1] + b·H[f2]   （线性）

代数运算

几何空间变换与图像配准

仿射变换可对坐标做尺度、旋转、平移、偏移；分前向映射（扫描输入像素算输出位置，可能多对一/空洞）与后向映射（扫描输出位置回算输入，更有效）。图像配准用约束点（控制点）求解 8 个系数，需至少 4 对点。

直方图与概率统计

灰度级 r_k 的归一化直方图：p(r_k)=n_k/n（n_k 为灰度 r_k 的像素数，n 为总像素数）。统计量：

平均灰度（均值）  m  = Σ z_k · p(z_k)
方差             σ² = Σ (z_k - m)² · p(z_k)    ← 反映对比度

⭐重点例题

欧氏 De = √(3²+4²) = √25 = 5
D4（城市街区） = 3 + 4 = 7
D8（棋盘）     = max(3,4) = 4

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